APLICACIONES DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Cuando se tienen fenómenos de incrementos o decrementos el comportamiento no es lineal, este se comporta de forma exponencial aplicando la siguiente relación 

dT/dt=KT

Esta es la regla de crecimiento

Cuando se tienen problemas de crecimiento se deben conocer condiciones iniciales las cuales se deben sustituir para identificar la solución particular del problema como muestra

Algoritmo: 

1.- Se sustituyen las variables correspondientes al problema en la fórmula de la regla de crecimiento.

2.- Se procede a integrar los términos tomando en cuenta que una integración de una derivada que se encuentra en una fracción se convierte en logaritmo natural y una simple integración de una derivada se eliminan o es igual a 0.

3.- Se despeja la variable que se desea obtener el valor tomando en cuenta que al despejar logaritmo natural, al pasarlo al otro lado de la igualdad se convierte en Euler.

4.- Una vez obtenida la ecuación de crecimiento correspondiente al problema, se procede a organizar los datos dados en el problema para saber cuáles son las incógnitas a resolver.

5.- Cuando se tienen claras todas las incógnitas y los datos ya dados en el problema, se procede a sustituir los valores en la ecuación de crecimiento.

6.- Se despeja la variable de la cual se desea obtener el valor y se resuelve la ecuación para obtener el resultado al problema.

Ejercicio:

Un cubo de metal tiene una temperatura inicial de 700°c, después de 3 minutos su temperatura disminuye 35% indique el tiempo que tardara en alcanzar la temperatura de 115°c indique la temperatura que tendrá después de 5 minutos.

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE VARIABLES SEPARABLES 2

La solución particular de una ecuación diferencial es aquella que se presenta con una condición inicial (se conoce un punto por donde pasa).

“Concepto visto en Clase” 

Algoritmo:

1.- Ya con la ecuación, se procede a sustituir y prima por derivada de y con respecto a la derivada de x.

2.- Se despeja x pasándola al otro lado de la igualdad cambiando signo y se hace lo mismo con la derivada con respecto a x.

3.- Se integran los términos que están a los costados de la igualdad aplicando la fórmula de integración pertinente tomando en cuenta que una integración de una derivada se eliminan o es igual a 0.

4.- Una vez verificando que la ecuación está completa, ya se obtuvo la solución general, en caso contrario se procede a completarla para obtenerla.

5.- Una vez obtenida la solución general, se procede a espejar la constante de integración c para saber su valor.

6.- Sabiendo el valor de c, se sustituye en la solución general y se proceda a graficar sustituyendo la variable x por los valores que van desde -3 hasta +3 para obtener la gráfica.

Ejercicio:

ECUACION DIFERENCIAL DE VARIABLES SEPARABLES

Las ecuaciones variables diferenciales de primer orden se pueden clasificar pro su estructura en:

a) Ecuaciones diferenciales de variables separables

Son aquellas donde puede separarse en cada miembro de la ecuación una variable y se representa de la forma 

dy/dx=(g(x)) / (h(y))

“Concepto visto en Clase”

Algoritmo:

1.- Comprobar que puedan separarse las variables siempre y cuando las derivadas (dx,dy)queden como numerador.

2.- Separadas las variables deberán integrarse cada una con respecto a su propia variable. Colocando únicamente constante.

3.- En caso de ser posible debe despejarse la variable dependiente considerando la solución general, cuando contenga la constante de interpretación.

Ejercicio:

FAMILIA DE CURVAS DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial cuenta con una solución general que contiene una constante de integral y un número indefinido de soluciones particulares.

Para encontrar una solución particular se debe identificar el valor de la constante sustituyendo el punto por donde se desea pase la gráfica de la solución general.

“Concepto visto en clase”

Algoritmo:

1.- Haciendo uso de la solución general se procede a identificar con que puntos será evaluada.

2.- Cada punto dado es un sistema de coordenadas (x,y).

3.- En la solución general existirá alguno de estos datos x,y y serán sustituidos por los valores del punto. 

4.- Una vez sustituidos los valores se continuara a realizar la operación para obtener C

5.- El valor de C corresponde al valor de los puntos en el eje de las Y

6.- Ahora se procederá a tabular los datos 

7.- Se escogerá un rango de números para x ,(3,2,1,0,-1,-2,-3) 

8.- Y con la formula resultado de C se procede a realizar la operación con respecto a cada punto de X sustituyendo a esta misma en la formula si es necesario 

9.- Con todos los datos de ambos ejes se procede a graficar los datos.

10.- Se repite el proceso según el número de puntos dados.

Ejemplo: 

Solución general: y=C*X

Grafique la familia de curvas que pase por los siguientes puntos:

(1,1)

(1,3)

(4,2)

Punto (1,1)

y=C*X

1=C*1

C=1/1

C=1

tabulación 1:

X	Y=1*X
-3	-3
-2	-2
-1	-1
0	0
1	1
2	2
3	3

Punto (1,3)

y=C*X

3=C1

C=3/1=3

tabulación 2:

X	Y=3X
-3	-9
-2	-6
-1	-3
0	0
1	3
2	6
3	9

Punto (4,2)

y=C*X

2=C*4

C=2/4=1/2=.5

tabulación 3:

X	Y=.5X
-3	-1.5
-2	-1
-1	-.5
0	0
1	.5
2	1
3	1.5

Ahora se procede a graficar los resultados

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que cuenta con diferenciales en su estructura y su resultado es una ecuación

Una ecuación diferencial se puede clasificar por su forma y estructura:

a) Ecuación diferencial ordinaria

b) Ecuación diferencial parcial

Una ecuación diferencial puede clasificarse según su grado el cual se determina por la ecuación de mayor grado.

Una ecuación diferencial generalmente cuenta con una solución en general y un número definido de soluciones en particulares para que una solución sea validada debe cumplirse a igualdad en la ecuación.

“Concepto visto en clase” 

Algoritmo:

1.- Se identifica el tipo de ecuación es.

2.- Se deriva acorde al tipo de ecuación que era según el grado

3.- Se utiliza el último resultado y se le resta el término mayor multiplicado por el término original

4.- Si el resultado igualado a cero cumple la igualación es una solución correcta

Ejercicio: 

INTEGRAL POR PARTES

El método de la integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, arcos y polinómicas se eligen como “u”.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno se eligen como v´.   http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html

Algoritmo:

1.- Definir la ecuación de la integral

2.- Identificar U y DV

3.- Dividir en una tabla de tabulación a U y posteriormente a derivar la función de U hasta llegar a 0

4.- De lado contrario de la tabla DV y posteriormente integrar la función de DV hasta igualar a 0 de U.  

5.- El primer término de U se juntara con el segundo término de DV de manera que se unan en forma diagonal.

Ejercicio:

   3x² cos xdx

 

U         DV

3x²      cos x

6x        sen x                          R= 3x² senx + 6x cosx – 6 senx + C

6          -cos x

0          -sen x

DERIVADAS PARCIALES

Teoría Preliminar

Son aquellas derivadas que se realizan a una función que contiene varias variables considerando únicamente a una literal como variable y al resto se considera constante. “Concepto visto en clase”

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

Algoritmo: 

1.- Derivar de la ecuación todas y cada una de las variables respecto a las funciones indicadas (x, y, z). 

2.- Encontrar la función respecto de X, se va a derivar la ecuación solo donde contenga las variables de X.

3.- Encontrar la función respecto de Y, se va a derivar la ecuación solo donde contenga las variables de Y.

4.-.- Encontrar la función respecto de Z, se va a derivar la ecuación solo donde contenga las variables de Z.

Ejercicio: 

f (x, y, z) = 3x2y + 2xz + 3yz 

af/ax = 6xy + 2z

af/ay = 3x2 + 3z 

af/az = 2x + 3y